Кольца: определение, свойства, примеры. Простейшие свойства колец Кольцо рациональных чисел является полем

Содержащее единицу, называется кольцом с единицей . Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E .

Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.

Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.

Единица, нуль и теория категорий

Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.

Обратимость

Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

∃ v 1: v 1 u = 1 {\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1} ∃ v 2: u v 2 = 1 {\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1} (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 {\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.

С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над

Понятие кольца, простейшие свойства колец.

Алгебра (K , +, ∙) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (K , +) – коммутативная группа;

2.
a(b+c ) = ab+ac (b+c )a = ba+ca ;

3. a (bc ) = (ab ) c .

Если операция умножения в кольце коммутативная, то кольцо называется коммутативным.

Пример. Алгебры (Z, +, ∙), (Q , +, ∙), (R , + ,∙) являются кольцами.

Кольцо обладает следующими свойствами: имеет место

1) a + b = a => b = 0;

2) a + b = 0 => b = - a ;

3) – (- a ) = a ;

4) 0∙a = a ∙0 = 0 (0 – ноль кольца);

5) (-a )∙b = a ∙(-b ) = -a ∙b ;

6) (a – b )∙c = a ∙c – b ∙c , где a – b = a + (-b) .

Докажем свойство 6. (a – b )∙c = (a + (-b ))∙c = a ∙c + (-b )∙c = a ∙c +(-b ∙c )= =a ∙c – b ∙c .

Пусть (K A K называется подкольцом кольца (K ,+,∙), если оно является кольцом относительно операций в кольце (K , +, ∙).

Теорема. Пусть (K , +, ∙) – кольцо. Непустое подмножество A K , является подкольцом кольца К тогда и только тогда, когда
a - b , a ∙b
.

Пример. Кольцо (Q, +, ∙) является подкольцом кольца (А , +, ∙), где A = ={a + b | a , b Q}.

Понятие поля. Простейшие свойства полей .

Определение. Коммутативное кольцо (Р , +, ∙) с единицей, где ноль кольца не совпадает с единицей кольца, называется полем, если
a ≠0 существует ему обратный элемент а -1 , а ∙ а -1 = е , е – единица кольца.

Все свойства колец справедливы для полей. Для поля (Р ,+,∙) справедливы также следующие свойства:

1)
a ≠0 уравнение ах = b имеет решение и притом единственное;

2) ab = e |=> a ≠0 b = а -1 ;

3)

c ≠0 ac = bc => a=b ;

4) ab = 0
a = 0 b = 0;

5) ad = bc (b ≠0, d ≠0);

6)
;

.

Пример. Алгебры (Q, +, ∙), (А , +, ∙), где А = {a +b | a , b Q}, (R , +, ∙) – поля.

Пусть (Р ,+,∙) – поле. Непустое подмножество F P , являющееся полем относительно операции в поле (Р ,+,∙) называется подполем поля Р .

Пример. Поле (Q,+,∙) является подполем поля действительных чисел (R,+,∙).

Задачи для самостоятельного решения

1. Покажите, что множество относительно операции умножения есть абелева группа.

2. На множестве Q\{0}определена операция а b =
. Докажите, что алгебра (Q\{0},) является группой.

3. На множестве Z задана бинарная алгебраическая операция, определенная по правилу, а b = а+ b – 2. Выясните, является ли алгебра (Z,) группой.

4. На множестве А = {(a , b )
} определена операция (а, b ) (c , d ) = (ac – bd , ad + bc ). Докажите, что алгебра (А, ) – группа.

5. Пусть Т – множество всех отображений
заданных правилом
, где а, b Q, a
Докажите, что Т является группой относительно композиции отображений.

6. Пусть А ={1,2,…,n }. Взаимнооднозначное отображение f :
называется подстановкой n – ой степени. Подстановку n – ой степени удобно записывать виде таблицы
, где Произведение двух подстановок
множества А определяется как композиция отображений . По определению

Доказать, что множество всех подстановок n – ой степени является группой относительно произведения подстановок.

7. Выясните, образует ли кольцо относительно сложения, умножения:

a ) N ; b ) множество всех нечетных целых чисел; c)множество всех четных целых чисел; d ) множество чисел вида
где а, b

8. Является ли кольцом множество К ={а +b
} относительно операций сложения и умножения.

9. Покажите, что множество А ={a +b } относительно операций сложения и умножения есть кольцо.

10. На множестве Z определены две операции: a b =a +b +1, ab = ab + a + b . Доказать, что алгебра

11. На множестве классов вычетов по модулю m заданы две бинарные операции:Доказать, что алгебра
коммутативное кольцо с единицей.

12 . Опишите все подкольца кольца
.

13. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно операций сложения и умножения:

a ) рациональные числа с нечетными знаменателями;

b ) числа вида
c рациональными а, b ;

c ) числа вида
с рациональными а , b ;

d ) числа вида
с рациональными a , b , c .

§5. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными

числами в алгебраической форме

Поле комплексных чисел .

Пусть заданы две алгебры (А ,+,∙), (Ā , , ◦). Отображение f : A в(на) >Ā , удовлетворяющее условиям:
f (a +b ) = f (a ) f (b ) f (a ◦b ) = f (a ) ◦ f (b ), называется гомоморфизмом алгебры (А , +, ∙) в(на) алгебру (Ā , , ◦).

Определение. Гомоморфное отображение f алгебры (А , +, ∙) на алгебру (Ā , , ◦) называется изоморфным отображением, если отображение f множества А на Ā инъективно. С точки зрения алгебры изоморфные алгебры неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами.

Над полем R уравнение вида x 2 +1 = 0 не имеет решений. Построим поле, которое содержит подполе, изоморфное полю (R ,+,∙), и в котором уравнение вида x 2 +1 = 0 имеет решение.

На множестве C = R × R = {(a , b ) | a , b R } введем операции сложения и умножения следующим образом: (a , b ) (c , d ) = (a + c , b + d ), (a , b ) ◦ (c , d ) = (ac -bd , ad +bc ). Нетрудно доказать, что алгебра (C, ,◦) коммутативное кольцо с единицей. Пара (0,0) – ноль кольца, (1,0) – единица кольца. Покажем, что кольцо (С , ,◦) – поле. Пусть (a , b ) C, (a , b ) ≠ (0,0) и (x ,y ) C такая пара чисел, что (a , b )◦(x , y ) = (1,0). (a , b )◦(x , y ) = (1,0) (ax – by , ay + bx ) = (1,0)

(1)

Из (1) =>
,
(a , b ) -1 =
. Следовательно (С, +, ∙) – поле. Рассмотрим множество R 0 = {(a ,0) | aR }. Так как (a ,0) (b ,0) = (a - b ,0)R 0 , (a ,0)◦(b ,0) = (ab ,0) R 0 ,
(a ,0) ≠ (0,0) (a ,0) -1 = (,0) R 0 , то алгебра (R 0, ,◦) – поле.

Построим отображение f : R
R 0 , определенное условием f (a )=(a ,0) . Так как f – биективное отображение и f (a + b )= (a + b ,0) = =(a ,0)(b ,0) = f (a )f (b ), f (a ∙b ) = (a ∙ b ,0) = (a ,0)◦(b ,0) =f (a )◦f (b ), то f – изоморфное отображение. Следовательно, (R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – поле действительных чисел.

Покажем, что уравнение вида х 2 +1 = 0 в поле (C , , ◦) имеет решения. (х,у ) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy ) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – решения системы (2).

Построенное поле (C , ,◦) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами.

Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Пусть (С, +, ∙) поле комплексных чисел,
C,
=(a , b ). Так как (R 0 ,+, ∙) (R , +, ∙), то любую пару (a ,0) отождествим с действительным числом a . Обозначим через ί = (0,1). Так как ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί называется мнимой единицей. Представим комплексное число
=(a ,b ) в виде: =(a ,b )=(a ,0) +(b ,0) ◦(0,1)=a +b ∙ί. Представление комплексного числа в виде, = а + b ί называется алгебраической формой записи числа . a называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re, b – мнимая часть комплексного числа и обозначается Im.

Сложение комплексных чисел:

α = а+ bί , β = с+ d ί , α +β = (а, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = a + c + (b + d )ί.

Умножение комплексных чисел:

α∙β = (a , b )(c , d ) = (a ∙ c – b ∙ d , a ∙ d + b ∙ c ) = a ∙ c - b ∙ d + (a ∙ d + b ∙ c )ί.

Чтобы найти произведение комплексных чисел а+ bί и с+ d ί , нужно умножить а+ bί на с+ d ί как двучлен на двучлен, учитывая, что ί 2 = -1.

Частным от деления на β , β ≠ 0 называется такое комплексное число γ, что = γ∙β .

= γ∙β => γ = ∙β -1 . Так как
, то =∙β -1 = =(a , b )∙
Таким образом

Эту формулу можно получить, если числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на

с – dί .

Пример. Найти сумму, произведение, частное комплексных чисел

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Решение. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Извлечение корня n -ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа.

На плоскости в прямоугольной системе координат комплексное число

z = a + bί будем изображать точкой А (а, b ) или радиусом вектором
.

Изобразим комплексное число z = 2 – 3ί .

Определение. Число
называется модулем комплексного числа z = a + bί и обозначается | z |.

Угол, образованный между положительным направлением оси Ох и радиусом вектором , изображающим комплексное число z = a + bί , называется аргументом числа z и обозначается Arg z .

Argz определен с точностью до слагаемое 2πk , .

Аргумент комплексного числа z , удовлетворяющий условию 0≤ < 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z и обозначается arg z .

Из OAA 1 =>a =
cos, b = sin
. Представление комплексного числа z = a + bί в виде z = r (cos+ ί sin) называется тригонометрической формой записи числа z (r =). Чтобы записать комплексное число z = a + bί в тригонометрической форме, необходимо знать |z | и Arg z , которые определяются из формул
, cos =
sin =

Пусть z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί sin φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί sin φ 2). Тогда z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cosφ 1 ∙cosφ 2 – sin φ 1∙ sin φ 2)+i ]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i sin (φ 1+ φ 2)] . Отсюда следует, что |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg– Arg.

Извлечение корня n – ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

Пусть z C , n N . n – ой степенью комплексного числа z называется произведение
обозначается оно z n . Пусть m =- n . По определению положим, что
z≠0, z 0 = 1, z m = . Если z =r (cosφ + ί sinφ ) , то z n =

= r n (cosnφ + ί sinnφ ). При r = 1 имеем z n = cosnφ + ί sinnφ – формула Муавра. Формула Муавра имеет место
.

Корнем n z называется такое комплексное число ω , что ω n = z . Справедливо утверждение.

Теорема. Существует n различных значений корня n –ой степени из комплексного числа z = r (cosφ + ί sinφ ) . Все они получаются из формулы при k = 0, 1, … , n -1. В этой формуле
– арифметический корень.

Обозначим через, ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 – значения корня n -ой степени из z , которые получаются при k = 0, 1, ... , n -1. Так как |ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , то комплексные числа ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 на плоскости изображаются точками круга с радиусом равным
и делят этот круг на n равных частей.

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУППЫ.

Опр1 .Пусть G не пустое множество элементов произвольной природы. G называется группой

1) На множестве G задана бао °.

2) бао ° ассоциативна.

3) Существует нейтральный элемент nÎG.

4) Для любого элемента из G симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит такжеG.

Пример. Множество Z – чисел с операцией +.

Опр2 .Группа называется абелевой , если она коммутативна относительно заданной бао °.

Примеры групп:

1) Z,R,Q «+» (Z+)

Простейшие свойства групп

В группе существует единственный нейтральный элемент

В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент

Пусть G - группа с бао °, тогда уравнения вида:

a°x=b и x°a=b (1) - разрешимы и имеют единственное решение.

Доказательство . Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а". Так как операция ° - ассоциативна, то очевидно x=b°a" - единственное решение.

34. ЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ*

Определение 1 . Подстановка называется четной , если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.

Предложение 1 .Подстановка

Является четной <=> - четная перестановка. Следовательно, количество четных подстановок

из n чисел равно n!\2.

Предложение 2 . Подстановки f и f - 1 имеют один характер четности.

> Достаточно проверить, что если - произведение транспозиций, то <

Пример:

ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.

Опр. Пусть G - группа c бао ° и не пустое подмножество HÌG, тогда H называют подгруппой группы G, если H -подгруппа относительно бао° (т.е. ° - бао на Н. И Н с этой операцией группа).

Теорема (критерий подгруппы). Пусть G - группа относительно операции°, ƹHÎG. H является подгруппой <=> "h 1 ,h 2 ÎH выполняется условие h 1 °h 2 "ÎH (где h 2 " - симметричный элемент к h 2).

Док-во. =>: Пусть H - подгруппа (нужно доказать, что h 1 °h 2 "ÎH). Возьмем h 1 ,h 2 ÎH, тогда h 2 "ÎH и h 1 °h" 2 ÎH (так как h" 2 - симметричный элемент к h 2).

<=: (надо доказать, что H - подгруппа).

Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h"ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h 1 берем n, а в качестве h 2 возьмём h тогда h"ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.

Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.

Возьмём h 1 , а в качестве h 2 возьмём h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

Пример. G=S n , n>2, α - некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S α n ={fÎ S n ,f(α)=α}, при действии отображения из S α n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h 1 ,h 2 ÎH. Произведение h 1 . h 2 "ÎH, т.е H - подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.

КОЛЬЦО, ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ.

Опр. Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К называется кольцом , если выполняются следующие условия:

1) К- абелевагруппа(коммутативна относительно заданной бао °) относительно сложения;

2) умножение ассоциативно;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения().

Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом . Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей .

Примеры.

1)Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.

2) Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями

относительно обычных операций сложения и умножения чисел.

Простейшие свойства колец.

1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К переносятся простейшие свойства групп.

2. Умножение дистрибутивно относительно разности: a(b-c)=ab-ac.

Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то a(b-c)=ab-ac.

3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,что a=0 b=0.

Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не равные нулю такие, что их произведение будет нуль: ,где - играет роль нулевого элемента.

4. a·0=0·а=0.

Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.

5. a(-b)=(-a)·b=-ab.

Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении.

7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов кольца образуют группу относительно умножения, которую называют мультипликативной группой кольца K и обозначают K* .

Опр. Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем .

Простейшие свойства поля

1. Т.к. поле - кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.

2. В поле нет делителей нуля,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0.

Доказательство.

Если a¹0 ,то $ a -1 . Рассмотрим a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0

3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a -1 b, или х=b/a.

Решение этого уравнения называется частным.

Примеры. 1)PÌC, P - числовое поле. 2)P={0;1};

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К - полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.

4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и - операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;

3) - a=(-1)a .

Действительно:

2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .

Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.